বর্গ ও বর্গমূল

বর্গ এবং বর্গমূল নিয়ে অনেক কিছুই জানানোর চেষ্টা করব আজকের এই ব্লগে। এটি সপ্তম শ্রেণির গণিত বইয়ের প্রথম অধ্যায় 'মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা' অধ্যায়ের আলোকে লেখা হচ্ছে যা সপ্তম শ্রেণির শিক্ষার্থীদের জন্য পুরোপুরি উপযোগী। একই সাথে অন্যদের জন্যও এই ব্লগটি সাবলীল করেই লেখা হয়েছে। তাহলে শুরু করা যাক।

পাঠ্যসূচি(toc)

বর্গ

বর্গ কাকে বলে?

সহজ ভাষায় বর্গ কী বা বর্গ কাকে বলে তা বুঝাতে গেলে বলা যায়, "কোনো সংখ্যাকে ওই সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তাই হচ্ছে ওই সংখ্যার বর্গ।" সংখ্যার ক্ষেত্রে বর্গ বলতে এতোটুকুই যথেষ্ট। কিন্তু বর্গ আসলে কী?

বর্গক্ষেত্র তো আমরা চিনি। সহজ করে বলতে গেলে সেটাই বর্গ। যার সবগুলো বাহু সমান। বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হয় (এক বাহুর দৈর্ঘ্য)^২। এসকল বিষয় নিয়ে বিস্তারিত আপাতত এই ব্লগে আমরা জানছি না। আপাতত আমরা শুধু সংখ্যার মধ্যেই আবদ্ধ থাকছি।

বর্গ নির্ণয়

কোনো একটি সংখ্যার বর্গ কীভাবে নির্ণয় করব? এই প্রশ্নের উত্তর তো আরও আগেই দিয়ে দিয়েছি। যে সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করতে হবে আমরা সেই সংখ্যাকে ওই সংখ্যা দিয়েই গুণ করব। যেমন যদি বলা হয়, ৩ এর বর্গ কত? আমরা উত্তর করব:

৩ এর বর্গ = ৩ `\times` ৩ = ৯

একই ভাবে আরও কয়েকটি দেখা যাক নিচের সারণিতে।

বর্গ প্রকাশ

বর্গকে স্কোয়ার চিহ্ন দিয়ে লেখা হয়। অর্থাৎ ২ এর বর্গের জন্য আমরা ২ `\times` ২ লিখব মান নির্ণয়ের সময়। কিন্তু ২ এর বর্গ প্রকাশ করার জন্য লিখব `2^2`।

বর্গসংখ্যা কী?

কোনো একটি স্বাভাবিক সংখ্যাকে অন্য একটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ আকারে প্রকাশ করা গেলেই তা বর্গসংখ্যা।

এইতো, বর্গ সম্পর্কে এর থেকে বেশি জানার প্রয়োজন আপাতত আছে বলে মনে হচ্ছে না। এবার বর্গমূলে যাওয়া যাক।

বর্গমূল

বর্গমূল কী?

যে সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করছি, সেই সংখ্যাটিই বর্গমূল। ২ কে বর্গ করলে ৪ পাওয়া যায়, তাই ৪ এর বর্গমূল ২। ৩ কে বর্গ করে ৯ পাওয়া যায়, তাই ৯ এর বর্গমূল ৩। ১৩.২৫ কে বর্গ করলে ১৭৫.৫৬২৫ পাওয়া যায়, তাই ১৭৫.৫৬২৫ এর বর্মূল ১৩.২৫। এখান থেকে আমরা একটু পূর্ণবর্গ সংখ্যা চিনে নেয়ার চেষ্টা করি।

পূর্ণবর্গ সংখ্যা কাকে বলে?

যে সংখ্যার বর্গমূল একটি পূর্ণসংখ্যা, সেই সংখ্যাই পূর্ণবর্গ সংখ্যা। আগের প্যারায় যে ৩ টি সংখ্যার বর্গমূলের উদাহারণ দিয়েছি তার মধ্যে প্রথম দুটি ৪ এবং ৯ যাদের বর্গমূল ২ এবং ৩। যেহেতু ২ এবং ৩ পূর্ণসংখ্যা, তাই ৪ এবং ৯ পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

যেকোনো (ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক) পূর্ণসংখ্যার বর্গই একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। 'বর্গ নির্ণয়' অংশে দেয়া টেবিলে লক্ষ করলে দেখা যাবে ১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যা, -৭ এবং ৫৫৫ এর যে বর্গ আছে তার সবগুলোই পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

আবার ২০.৬ এবং ১৩.২৫ যেহেতু পূর্ণ সংখ্যা না (দশমিক ভগ্নাংশ) তাই এদের বর্গ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।

পূর্ণবর্গ সংখ্যা চেনার উপায়

কোনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং কোনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তা চেনার কিছু উপায় আছে। একদম সহজে বুঝতে চাইলে সোজাসুজি বলা যায়, কোনো সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করলেই (ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে ২৫ এর বর্গমূল নির্ণয়ের জন্য `\sqrt25` বসালেই পাওয়া যাবে) বুঝা যাবে তা পূর্ণবর্গ কি না? যদি স্কোয়ার রুটের মান পূর্ণসংখ্যা আসে, কোনো ভগ্নাংশ না আসে, তবেই তা পূর্ণবর্গ সংখ্যা। এছাড়াও আর কিছু নিয়ম জেনে নেয়া যাক।

• কখনোই কোনো দশমিক সংখ্যা পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় না। যেমন, ২৫.২৫।
• ১ থেকে ৯ পর্যন্ত ১, ৪, ৯ সংখ্যা তিনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। ২, ৩, ৫, ৬, ৭, ৮ পূর্ণবর্গ নয়। এদের বর্গমূল নির্ণয় করলেই স্পষ্টত বুঝা যাবে।
• কোনো সংখ্যার শেষে/একক স্থানে ২, ৩, ৭ বা ৮ থাকলে তা পূর্ণ বর্গ হবে না। যেমন ৪৮ সংখ্যাটির শেষে ৮ আছে। তাই এটি পূর্ণবর্গ হবে না। ৪৮ এর বর্গমূল ৬.৯২৮ (প্রায়)।
• কোনো সংখ্যার শেষে বা একক স্থানে ০, ১, ৪, ৫, ৬ বা ৯ থাকলে তা পূর্ণবর্গ হতেও পারে আবার নাও হতে পারে। যেমন ২৫ এবং ৩৫ উভয় সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৫ হলেও ২৫ পূর্ণবর্গ সংখ্যা; কিন্তু ৩৫ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
• কোনো একটি সংখ্যার শেষে বিজোড় সংখ্যক শূন্য থাকলে (১টি, ৩টি, ৫টি ইত্যাদি) তা পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে না। যেমন ১০০০ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয়।
• যদি কোনো সংখ্যার শেষে জোড় সংখ্যক শূন্য (২টি, ৪টি, ৬টি ইত্যাদি) থাকলে তা পূর্ণবর্গ হতেও পারে আবার নাও হতে পারে। যেমন ১০০, ৪৯০০ এসব পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলে ৩৫০০ পূর্ণবর্গ নয়।

তাহলে আশা করা যায় আমরা কোনটি পূর্ণবর্গ এবং কোনটি পূর্ণবর্গ নয় তা সহজেই বুঝতে পারব। 

কোনো সংখ্যার বর্গসংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি কত হবে?

সপ্তম শ্রেণির গণিত বইয়ের ৩ নম্বর পৃষ্ঠার কাজ ২য়ে এমন প্রশ্ন আছে। প্রশ্নটি হলো:

কীভাবে আমরা জানব? একেবারেই সহজ। ক্যালকুরেটরে বসিয়ে বর্গ নির্ণয় করে দেখে বলে ফেলব। কিন্তু প্রশ্নে থাকা ৪ নম্বর সংখ্যাটি ক্যালকুলেটরে বসিয়ে করা যাবে? চেষ্টা করলেও ব্যার্থ হতে হবে। কারণ সংখ্যাটি অনেক বড় হয়ে যাবে। তখন তার একক স্থানীয় অঙ্ক আমরা খুঁজে পাবো না। তাই ক্যালকুলেটর ছাড়া কীভাবে নির্ণয় করতে পারবো সে সম্পর্কে আমাদের জানা থাকতে হবে।

এই ব্যাপারটিও খুবই সহজ। যে সংখ্যার বর্গের একক স্থানীয় মান নির্ণয় করতে বলে হবে সেই সংখ্যাটির একক স্থানীয় অংকটির বর্গের একক স্থানে যা থাকবে সেটাই পুরো সংখ্যার বর্গেরও একক স্থানে থাকবে। অনুশীলন করে দেখা যাক।

• ১২৭৩ সংখ্যাটির একক স্থানে আছে ৩ যার বর্গ ৯। তাই ১২৭৩ এর একক স্থানেও থাকবে ৯। ১২৭৩ এর বর্গ হয় ১৬২০৫২৯।

এভাবে সহজেই বাকিগুলোও করে ফেলা যাবে।

বর্গমূলের প্রকাশ পদ্ধতি

বর্গমূলকে (`\sqrt`) চিহ্ন দাঁড়া প্রকাশ করা হয়। যেমন `\sqrt25 = 5`।

বর্গমূল নির্ণয়

কিছু ছোট প্রশ্ন

225 এর বর্গমূল কত?

225 এর বর্গমূল ১৫।

• ২৫ এর বর্গমূল ৫
• ১২১ এর বর্গমূল ১১
• ৯ এর বর্গ ৮১
• ১৬ এর বর্গ ২৫৬