আজ আমরা গণিতের দুই ধরনের ধারার উপধারাসহ তাদের সূত্রাবলী জানানোর চেষ্টা করব। ধারা মূলত দুই প্রকার। যথা:
- সসীম ধারা (যে ধারার সীমা আছে)।
- অসীম ধারা (যে ধারার সীমা নেই)।
সসীম ধারা আবার ২ প্রকার। যথা:
- সমান্তর ধারা এবং
- গুণোত্তর ধারা।
সমান্তর ধারা
- 8+11+14+17+... ...+392
- 2-5-12-19
উপরের এই ধারা দুটির দিকে লক্ষ্য করা যাক। প্রথম ধারার মানগুলো প্রতিবার 3 করে বৃদ্ধি পাচ্ছে। অন্যদিকে দ্বিতীয় ধারার মানগুলো প্রতিবার 7 করে কমে যাচ্ছে।
প্রথমটির ক্ষেত্রে সাধারণ অন্তর, d = (11-8) = (14-11) = (17-14) = 3
দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রে সাধারণ অন্তর, d = {2-(-5)} = {(-5)-(-12)} = 7
যখন কোনো ধারার মধ্যে সাধারণ অন্তর বিদ্যমান থাকে তখন তাকে সমান্তর ধারা বলে। অর্থাৎ প্রত্যেক পূর্বপদ ও পরপদের বিয়োগফল সমান হলেই তা সমান্তর ধারা।
সমান্তর ধারার সূত্রাবলি
সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষপদ l এবং সাধারণ অন্তর d হলে,
- সাধারণ অন্তর, d = (পরপদ - পূর্বপদ)
- n তম পদ = a + (n-1) d
- প্রথম n পদের সমষ্টি, S = `\frac{n(a+l)}2=\frac n2\{2a+(n-1)d\}`
গুণোত্তর ধারা
- 3+9+27+...
- 64+32+16+8+...
উপরের এই ধারা দুটির দিকে লক্ষ্য করলে দেখা যাবে যে এদের প্রত্যেকপদের সাথে তার আগের পদের সম্পর্ক গুণ বা ভাগ কেন্দ্রিক। প্রথম ধারাটিতে প্রতিটি সংখ্যা তার পূর্বের সংখ্যার 3 গুণ হচ্ছে, এবং দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রে অর্ধেক হচ্ছে বা 1/2 গুণ হচ্ছে।
প্রথমটিতে সাধারণ অনুপাত, r = 9/3 = 27/9 = 3
দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রে সাধারণ অনুপাত, r = 32/64 = 16/32 = 1/2 = 0.5
অর্থাৎ পূর্বপদ ও পরপদের সাথে সম্পর্ক গুণ আকারে থাকলে তাই গুণোত্তর ধারা বা ভাগফল সমান হলে তাই গুণোত্তর ধারা।
গুণোত্তর ধারার সূত্রাবলি
কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে
- n তম পদ = `ar^n-1`
- প্রথম n পদের সমষ্টি = `\frac{a(r^n-1)}{r-1}` যখন r > 1
- এবং প্রথম n পদের সমষ্টি = `\frac{a(1-r^n)}{1-r}` যখন r < 1
অসীম ধারার বিশেষ সূত্র
অনন্ত গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি সাধারণ অনুপাত |r|<1 হয়। এক্ষেত্রে প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে অসীমতক সমষ্টি, `S=\frac a{(1-r)}` হবে।
Tags:
Math
