এমন দুইটি ত্রিমাত্রিক বহুপদী P(x) ও Q(x) নির্ণয় কর যাদের একটি সাধারণ উৎপাদক (x – 2), ধ্রুবপদ 24 এবং অন্য উৎপাদকগুলো একমাত্রিক। বহুপদী দুইটির একটিকে হর ও অপরটিকে লব ধরে গঠিত ভগ্নাংশটিকে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
দেওয়া আছে, দুটি ত্রিমাত্রিক বহুপদী P(x) এবং Q(x) এর সাধারণ উৎপাদক (x - 2)।
ধ্রুবপদ 24 এবং বাকি উৎপাদকগুলো একমাত্রিক।
(x - 2) যদি P(x) এবং Q(x) এর একটি উৎপাদক হয়, তবে
P (2) = 0 এবং Q (2) = 0 হবে।
সুতরাং, দুটি ত্রিমাত্রিক বহুপদী হবে,
P(x)=x3-6x2-4x+24 এবং
Q(x)=3x3-4x2-16x+24
এখন,
P(x)=x3-6x2-4x+24
বা, P(x)=x3-2x2-4x2+8x-12x+24
বা, P(x)=x2(x-2)-4x(x-2)-12(x-2)
বা, P(x)=(x-2)(x2-4x-12)
বা, P(x)=(x-2)(x2-6x+2x-12)
বা, P(x)=(x-2){x(x-6)+2(x-6)}
সুতরাং, P(x)=(x-2)(x+2)(x-6)
আবার,
Q(x)=3x3-4x2-16x+24
=3x3-6x2+2x2-4x-12x+24
=3x2(x-2)+2x(x-2)-12(x-2)
=(x-2)(3x2+2x-12)
=
= (x-2)(\sqrt3x+\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3)(\sqrt3x-\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3)
এখন, P(x) কে হর এবং Q(x) কে লব ধরে গঠিত ভগ্নাংশ হবে \frac{Q(x)}{P(x)}
\frac{Q(x)}{P(x)}\=\frac{(x-2)(\sqrt3x\+\{\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3})(\sqrt3x\-\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3)}{(x-2) (x+2) (x-6)}
= \frac{(\sqrt3x+{\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3})(\sqrt3x-\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3)}{(x+2)(x-6)}
ধরি, \frac{(\sqrt3x+{\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3})(\sqrt3x-\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3)}{(x+2)(x-6)} \equiv\frac A{x+2}+\frac B{x-6} ... 1 নং সমীকরণ
1 নং কে (x-2) (x-6) দ্বারা গুণ করে পাই,
(\sqrt3x+\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3)(\sqrt3x-\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3)\equiv A(x-6)+B(x+2)... 2 নং সমীকরণ
যেহেতু এটি একটী অভেদ, তাই x এর সকল মানের জন্যই এটি সত্য হবে।
তাই, 2 নং সমীকরণে x এর মান x = -2 বসিয়ে পাই,
4 = A (-8) + B \times 0
বা, A = 4/(-8) = -1/2
আবার, x = 6 বসিয়ে পাই,
84 = 0 + 8B
বা, B = 21/2
A এবং B এর মান, 1 নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, \frac{(\sqrt3x+{\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3})(\sqrt3x-\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3)}{(x+2)(x-6)}=-\frac1{2(x+2)}+\frac{21}{2(x+6)}
এটিই উক্ত ভংগ্নাশের আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত রূপ।
